Question

【题目】在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中BC⊥CC1 ， AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D．
（1）证明：BC⊥平面ACC1A1
（2）若二面角A﹣A1B﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由已知得，A1D⊥平面ABC，又BC平面ABC，∴A1D⊥BC，

∵BC⊥CC1，CC1∥AA1，∴BC⊥AA1，又A1D∩AA1=A1，

∴BC⊥平面ACC1A1；

（2）解：由（1）及AC平面ACC1A1，得BC⊥AC，

以C为原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴，过C与平面ABC垂直的直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系C﹣xyz，

设A1D=a，则A（2，0，0），A1（1，0，a），B（0，2，0），C1（﹣1，0，a），

∴ ， ，

又由已知得 ，∴3﹣a2=0，得a= ，

∴ ， ，

设平面AA1B的法向量 ，

则 ，∴ ，令z= ，则x=y=3．

∴ ，

平面A1BC的法向量 ，

∴cos＜ ＞= ．

∴二面角A﹣A1B﹣C的余弦值为﹣ ．

【解析】（1）由已知可得A1D⊥平面ABC，进一步得A1D⊥BC，再由BC⊥CC1 ， 得BC⊥AA1 ， 然后利用线面垂直的判定得答案；（2）利用线面垂直的性质可得BC⊥AC，以C为原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴，过C与平面ABC垂直的直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系C﹣xyz，设A1D=a，得A，A1 ， B，C1 的坐标，然后求出平面AA1B与平面A1BC的一个法向量，再求出两个法向量所成角的余弦值，进一步得到二面角A﹣A1B﹣C的余弦值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．