【题目】已知函数 f(x)=x﹣ln x﹣2.
(Ⅰ)求函数 f ( x)的最小值;
(Ⅱ)如果不等式 x ln x+(1﹣k)x+k>0(k∈Z)在区间(1,+∞)上恒成立,求k的最大值.
【答案】解:(I)x∈(0,+∞),f′(x)=1﹣ = ,当x∈(0,1)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.∴当x=1时,函数f(x)取得极小值即最小值,f(1)=1﹣0﹣2=﹣1.
(II)不等式 x ln x+(1﹣k)x+k>0(k∈Z)在区间(1,+∞)上恒成立k< (x>1).
令g(x)= (x>1).g′(x)= ,由于x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,∴函数f(x)单调递增.
∵f(1)=﹣1<0,∴函数f(x)只有一个零点x0,x0﹣lnx0﹣2=0.
又f(3)=1﹣ln3<0,f(4)=2﹣ln4>0,∴x0∈(3,4).
当x∈(1,x0)时,f(x0)<0,∴g′(x)<0,函数g(x)单调递减;当x∈(x0,+∞)时,f(x0)>0,∴g′(x)>0,函数g(x)单调递增.∴g(x)min=g(x0)= = =x0∈(3,4),
∴kmax=3
【解析】(I)x∈(0,+∞),f′(x)=1﹣ = ,利用导数研究其单调性即可得出当x=1时,函数f(x)取得极小值即最小值..(II)不等式 x ln x+(1﹣k)x+k>0(k∈Z)在区间(1,+∞)上恒成立k< (x>1).令g(x)= (x>1).利用导数研究其单调性极值即可得出.
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【题目】随机调查某社区80个人,以研究这一社区居民的休闲方式是否与性别有关,得到下面的数据表:
休闲方式 | 看电视 | 运动 | 合计 |
男性 | 20 | 10 | 30 |
女性 | 45 | 5 | 50 |
合计 | 65 | 15 | 80 |
(1)将此样本的频率估计为总体的概率,随机调查3名在该社区的男性,设调查的3人是以运动为休闲方式的人数为随机变量X,求X的分布列和期望;
(2)根据以上数据,能否有99%的把握认为休闲方式与性别有关系?
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:K2= ),其中n=a+b+c+d)
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【题目】已知函数 f(x)=asinx﹣bcosx(a,b为常数,a≠0,x∈R)在x= 处取得最小值,则函数g(x)=f( ﹣x)是( )
A.偶函数且它的图象关于点(π,0)对称
B.奇函数且它的图象关于点(π,0)对称
C.奇函数且它的图象关于点( ,0)对称
D.偶函数且它的图象关于点( ,0)对称
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【题目】王先生家住 A 小区,他工作在 B 科技园区,从家开车到公司上班路上有 L1 , L2两条路线(如图),L1路线上有 A1 , A2 , A3三个路口,各路口遇到红灯的概率均为 ;L2路线上有 B1 , B2两个路.各路口遇到红灯的概率依次为 , .若走 L1路线,王先生最多遇到 1 次红灯的概率为;若走 L2路线,王先生遇到红灯次数 X 的数学期望为 .
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【题目】设m∈R,函数f(x)=ex﹣m(x+1) m2(其中e为自然对数的底数)
(Ⅰ)若m=2,求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)已知实数x1 , x2满足x1+x2=1,对任意的m<0,不等式f(x1)+f(0)>f(x2)+f(1)恒成立,求x1的取值范围;
(Ⅲ)若函数f(x)有一个极小值点为x0 , 求证f(x0)>﹣3,(参考数据ln6≈1.79)
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【题目】已知a∈R,函数f(x)满足f(2x)=x2﹣2ax+a2﹣1.
(Ⅰ)求f(x)的解析式,并写出f(x)的定义域;
(Ⅱ)若f(x)在 上的值域为[﹣1,0],求实数a的取值范围.
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【题目】甲、乙两人从1,2,…,15这15个数中,依次任取一个数(不放回).则在已知甲取到的数是5的倍数的情况下,甲所取的数大于乙所取的数的概率是( )
A.
B.
C.
D.
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