Question

已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0.

(1)若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线的方程;

(2)从圆C外一点P(x，y)向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标.

Answer 1

1、切线方程为y=(2±)x,x+y+1=0或x+y-3=0.

2、P(-，).

解析:

(1)圆C：x²+y²+2x-4y+3=0的标准方程为(x+1)²+(y-2)²=2，

∴圆心C(-1，2)，半径r=.

设圆C的切线在x轴和y轴上的截距分别为a、b.

当a=b=0时，

切线方程可设为y=kx，

即kx-y=0.

由点到直线的距离公式得

=.解得k=2±.

∴切线方程为y=(2±)x.

当a=b≠0时，

切线方程为+=1，

即x+y-a=0.

由点到直线的距离公式得

=.

解之,得a=-1或a=3.

∴切线方程为x+y+1=0,x+y-3=0.

总之，所求切线方程为y=(2±)x,x+y+1=0或x+y-3=0.

(2)连结MC，则|PM|²=|PC|²-|MC|^2.

∵|PM|=|PO|,

∴|PC|²-|MC|²=|PO|²,

即(x+1)²+(y-2)²-2=x²+y^2.

整理得x=2y-.

∴|PM|=|PO|=

=.

当y=-=时，|PM|最小,

此时x=2×-=-.

∴P(-，).