Question

如图所示，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，AB=2，PA=2，M是PA的中点．

（1）求证：平面PCD∥平面MBE；

（2）设PA=λAB，当二面角D﹣ME﹣F的大小为135°，求λ的值．

Answer 1

考点：

用空间向量求平面间的夹角；平面与平面平行的判定．

专题：

综合题．

分析：

（1）证明平面PCD∥平面MBE，利用面面平行的判定定理，证明一个平面内的两条相交直线平行于另一平面即可；

（2）不妨设AB=2，则PA=2λ，以A为坐标原点，AE，AB，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面DME的法向量，平面FME的法向量为，利用向量夹角公式，建立方程，即可求得结论．

解答：

（1）证明：连接AD交BE于点G，连接MG，则点G是正六边形的中心，所以G是线段AD的中点

∵M是PA的中点，∴MG∥PD

∵PD⊄平面MBE，MG⊂平面MBE

∴PD∥平面MBE

∵DC∥BE，DC⊄平面MBE，BE⊂平面MBE

∴DC∥平面MBE

∵PD∩DC=D

∴平面PCD∥平面MBE；

（2）解：不妨设AB=2，则PA=2λ，在正六边形ABCDEF中，连接AE，过点F作FH⊥AE，垂足为H，则FH=AFsin∠FAE=1，AH=AFcos∠FAE=，AE=2，以A为坐标原点，AE，AB，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（2，0，0），D（2，2，0），F（，﹣1，0），M（0，0，λ）

∴=（，0，λ），=（0，2，0），=（﹣，﹣1，0）

设平面DME的法向量为，

由得，取z=2，则

同理可得平面FME的法向量为

∴=

∵二面角D﹣ME﹣F的大小为135°

∴

∴λ²=6

∵λ＞0，

∴

点评：

本题考查面面平行，考查面面角，解题的关键是掌握面面平行的判定方法，确定平面的法向量，属于中档题．