Question

15．已知矩形ABCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为（　　）

• A． 13π
• B． 12π
• C． 11π
• D． 10π

Answer 1

分析 正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，表示正六棱柱的体积，利用基本不等式求最值，求出正六棱柱的外接球的半径，即可求出外接球的表面积．

解答 解：设正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，
正六棱柱的体积V=$6×\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}y$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$•3x•3x•（9-6x）≤$\frac{\sqrt{3}}{6}[\frac{3x+3x+（9-6x）}{3}]^{3}$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
当且仅当x=1时，等号成立，此时y=3，
可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为$\sqrt{1+\frac{9}{4}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴外接球的表面积为4$π×\frac{13}{4}$=13π．
故选A．

点评 本题考查外接球的表面积，考查基本不等式的运用，确定正六棱柱的外接球的半径是关键．