Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为为实数），x∈R．
（1）若函数f（x）的最小值是f（-1）=0，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，f（x）＞x+k在区间[-3，-1]上恒成立，试求k的取值范围．

Answer 1

解：（1）因为函数f（x）的最小值是f（-1）=0，所以a≠0．
由题意有：f（-1）=a-b+1=0，
同时说明f（x）的对称轴为 =-1
故而 a=1，b=2
即f（x）=x²+2x+1．
（2 ） 由 f（x）＞x+k，有x²+x+1＞k，
问题转化为求函数g（x）=x²+x+1在x∈[-3，-1]上的最小值，
又函数g（x）=x²+x+1的对称轴为 x=，
所以g（x）在[-3，-1]上为减函数，
故g（x）_min=g（-1）=1，
所以k＜1．
分析：（1）、由f（x）有最小值知a≠0，由二次函数在对称轴上取最小值建立方程解之即可．
（2）、f（x）＞x+k在区间[-3，-1]上恒成立，问题转化为求函数g（x）=x²+x+1在x∈[-3，-1]上的最小值即可．
点评：本题考查求二次函数的解析式，函数中的恒成立问题，用到二次函数的对称轴，单调性，最值，
第2问的关键是利用分离问题转化为求函数g（x）=x²+x+1在x∈[-3，-1]上的最小值即可．