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【题目】某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂,第一年共支出12万元,以后每年支出增加4万元,从第一年起每年蔬菜销售收入50万元.设f(n)表示前n年的纯利润总和(f(n)=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额).
(1)该厂从第几年开始盈利?
(2)若干年后,投资商为开发新项目,对该厂有两种处理方法:①年平均纯利润达到最大时,以48万元出售该厂;②纯利润总和达到最大时,以16万元出售该厂,问哪种方案更合算?

【答案】
(1)解:由题意,第一年共支出12万元,以后每年支出增加4万元,可知每年的支出构成一个等差数列,用g(n)表示前n年的总支出,

∴g(n)=12n+ ×4=2n2+10n(n∈N*

∵f(n)=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额

∴f(n)=50n﹣(2n2+10n)﹣72=﹣2n2+40n﹣72.

由f(n)>0,即﹣2n2+40n﹣72>0,解得2<n<18

由n∈N*知,从第三年开始盈利.


(2)解:方案①:年平均纯利润为 =40﹣2(n+ )≤16,

当且仅当n=6时等号成立.

故方案①共获利6×16+48=144(万元),此时n=6.

方案②:f(n)=﹣2(n﹣10)2+128.

当n=10时,[f(n)]max=128.

故方案②共获利128+16=144(万元).

比较两种方案,获利都是144万元,但由于方案①只需6年,而方案②需10年,故选择方案①更合算


【解析】(1)根据第一年共支出12万元,以后每年支出增加4万元,可知每年的支出构成一个等差数列,故n年的总支出函数关系可用数列的求和公式得到;再根据f(n)=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额,可得前n年的纯利润总和f(n)关于n的函数关系式;令f(n)>0,并解不等式,即可求得该厂从第几年开始盈利;(2)对两种决策进行具体的比较,以数据来确定那一种方案较好.

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