Question

（2013•广州二模）已知函数f（x）=x²-2alnx （a∈且a≠0）．
（1）若f（x）在定义域上为增函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用函数单调，其导函数大于等于0或小于等于0恒成立；二次不等式恒成立，即a≤0，又a≠0，从而得出实数a的取值范围．
（2）先求出导函数f'（x），然后讨论a研究函数在[1，2]上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值．

解答：解：（1）f′（x）=2x-2×

a

x

=

2(x2-a)

x

，
若函数f（x）是定义域（0，+∞）上的单调函数，则只能f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即x²-a≥0在（0，+∞）上恒成立恒成立，
即只要a≤0，又a≠0，
实数a的取值范围（-∞，0）．
（2）f′（x）=

2(x2-a)

x

，
①当a≤0时，x∈[1，2]，f'（x）＞0，函数递增，
∴当x=1时f（x）有最小值，并且最小值为1
②当a＞0时，f′（x）=

2(x2-a)

x

=

2(x+ a )(x- a )

x

，
函数f（x）在区间（0，

a

）上为减函数，在区间（

a

，+∞）上为增函数．
（i）当

a

≤1时，即0＜a≤1时，函数在[1，2]上递增，所以当x=1时f（x）有最小值，并且最小值为1，
（ii）当1＜

a

≤2即1＜a＜4时，函数在[1，

a

]上递减，在[

a

，2]上递增；
所以当x=

a

时f（x）有最小值，并且最小值为 a-aln；
（iii）当

a

＞2即4＜a，函数在[1，2]上递减，所以当x=2时f（x）有最小值，并且最小值为4-2aln2．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值，属于中档题．