Question

如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足AB⊥AF₂．且F₁为BF₂的中点．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）D是过A，B，F₂三点的圆上的点，D到直线l：x-

3

y-3=0的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意求出F₂（c，0），A（0，b），设B（x₀，0），根据向量

AF2

⊥

AB

利用数量积建立关系式，算出x₀=-

b 2

c

，再由F₁为BF₂中点化简得a²=4c²，从而求出椭圆C的离心率；
（2）由（1）的结论得到F₂、B的坐标，从而得到△ABF₂的外接圆圆心为F₁（-

1

2

a，0），半径r=a．利用点到直线的距离公式，结合题意建立关于a的方程，解之得a=2，进而得到c=1且b=

3

，可得椭圆C的方程．

解答：解：（1）设B（x₀，0），由F₂（c，0），A（0，b），
得

AF2

=（c，-b），

AB

=（x₀，-b）
∵

AF2

⊥

AB

，∴cx₀+b²=0，解之得x₀=-

b 2

c

，
∵F₁为BF₂中点，∴-

b 2

c

+c=-2c，化简得b²=3c²=a²-c²，即a²=4c²，
故a=2c，可得椭圆C的离心率e=

c

a

=

1

2

；
（2）由（1）知c=

1

2

a，于是F₂（

1

2

a，0），B（-

3

2

a，0），
△ABF₂的外接圆圆心为F₁（-

1

2

a，0），半径r=a，
∵D到直线l：x-

3

y-3=0的最大距离等于2a，∴圆心到直线的距离为a，
可得

|- 1 2 a-3|

2

=a，解之得a=2，得到c=1且b=

3

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．

点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的离心率和方程．着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．