Question

13．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，且满足$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，其外接球的表面积为$\frac{16π}{9}$．

Answer 1

分析 三棱锥是正三棱锥，底面是边长为1的正三角形，外接圆的半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，高为1，可得外接球的半径为$\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{1}{9}}$=$\frac{2}{3}$，即可求出外接球的表面积．

解答 解：由题意，三棱锥是正三棱锥，底面是边长为1的正三角形，外接圆的半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
高为1，∴外接球的半径为$\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{1}{9}}$=$\frac{2}{3}$，
∴外接球的表面积为4$π•\frac{4}{9}$=$\frac{16π}{9}$．
故答案为：$\frac{16π}{9}$．

点评 本题考查空间图形的三视图，外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定外接球的半径是关键．