Question

（Ⅰ）已知f（x）+2f（

1

x

）=3x+3，求f（x）的解析式．
（Ⅱ）求函数f(x)=

-x2+6x-8

的单调区间和值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用方程组法求函数的解析式，以

1

x

代x代入方程，与已知方程联立，即可求得函数的解析式；
（Ⅱ）确定函数的定义域，确定内函数的单调性，即可得到函数的单调区间，从而可得函数的值域．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）+2f（

1

x

）=3x+3，∴f（

1

x

）+2f（x）=

3

x

+3
消去f（

1

x

），可得f（x）=

2

x

-x+1
∴f（x）的解析式为f（x）=

2

x

-x+1（x≠0）；
（Ⅱ）由-x²+6x-8≥0，可得x²-6x+8≤0，∴2≤x≤4，即函数的定义域为[2，4]，
令g（x）=-x²+6x-8=-（x-3）²+1，∴函数g（x）在（-∞，3）上单调递增，在（3，+∞）上单调递减
∴函数f(x)=

-x2+6x-8

的单调增区间为[2，3]，单调减区间为[3，4]，
∵0≤g（x）≤1，
∴函数的值域为[0，1]．

点评：本题考查函数的解析式，考查复合函数的单调性与值域，考查学生的计算能力，正确确定函数的定义域与内函数的单调性是关键．