Question

设a＞b＞c＞0，则2a2+

1

ab

+

1

a(a-b)

-12ac+36c2最小值为

4

．

Answer 1

分析：对2a2+

1

ab

+

1

a(a-b)

-12ac+36c2进行变形，然后结合二次函数及基本不等式可求最小值

解答：解：∵a＞b＞c＞0，
则2a2+

1

ab

+

1

a(a-b)

-12ac+36c2
=（36c²-12ac+a²）+a2+

1

a

(

1

b

+

1

a-b

)
=(6c-a)2+a2+

1

a

•

a

b(a-b)

=(6c-a)2+a2+

1

b(a-b)

≥a2+

1

b(a-b)

（当6c=a时取等号）
=[b+(a-b)]2+

1

b(a-b)

=b2+(a-b)2+2b(a-b)+

1

b(a-b)

≥2b（a-b）+2b（a-b）+

1

b(a-b)

（当b=a-b即a=2b时取等号）
=4b（a-b）+

1

b(a-b)

≥2

4b(a-b)+ 1 b(a-b)

=4（当且仅当4b（a-b）=

1

b(a-b)

即b（a-b）=

1

2

时取等号）
即2a2+

1

ab

+

1

a(a-b)

-12ac+36c2最小值为4
故答案为：4

点评：本题主要考查了利用基本不等式及二次函数的性质求解函数的最值，解题的关键是灵活对已知式子进行变形