Question

3．函数y=lnx（x＞0）的图象与直线$y=\frac{1}{2}x+a$相切，则a等于ln2-1．

Answer 1

分析 根据切点在曲线上，可以设切点P（m，lnm），根据导数的几何意义，可以得到切线的斜率a=y′|_x=m，再由切点在切线上，可以得到lnm=a+$\frac{1}{2}$m，解两个方程，即可得到a的值．

解答 解：根据切点P在曲线上，
∴设切点P的坐标为（m，lnm），
∵函数y=lnx，
∴y′=$\frac{1}{x}$，
根据导数的几何意义可以得到，切线的斜率k=y′|_x=m=$\frac{1}{m}$=$\frac{1}{2}$，①
又切点P（m，lnm）在切线y=$\frac{1}{2}$x+a上，
∴lnm=a+$\frac{1}{2}$m，②
由①②，解得m=2，a=ln2-1，
故答案为：ln2-1．

点评 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．属于中档题．