Question

17£®ÒÑÖªº¯Êýf£¨x£©=£¨3$\sqrt{x}$+2£©²£¨x¡Ý0£©£¬ÊýÁÐ{a_n}Âú×㣺a₁=4£¬a_n+1=f£¨a_n£©£¬ÊýÁÐ{b_n}Âú×㣺b₁+$\frac{{b}_{2}}{2}$+$\frac{{b}_{3}}{3}$+¡­+$\frac{{b}_{n}}{n}$=$\sqrt{{a}_{n}}$£¨n¡ÊN^*£©£®
£¨1£©ÇóÖ¤ÊýÁÐ{$\sqrt{{a}_{n}}$+1}ÊǵȱÈÊýÁУ¬²¢ÇóÊýÁÐ{a_n}µÄͨÏʽ£»
£¨2£©ÇóÊýÁÐ{b_n}µÄͨÏʽºÍËüµÄÇ°nÏîºÍT_n£®

Answer 1

·ÖÎö £¨1£©Í¨¹ýÌâÒâ¿ÉµÃ$\sqrt{{a}_{n+1}}$=3$\sqrt{{a}_{n}}$+2£¬±äÐοɵÃ$\sqrt{{a}_{n+1}}$+1=3£¨$\sqrt{{a}_{n}}$+1£©£¬½áºÏa₁=4¼´µÃ$\left\{{\sqrt{a_n}+1}\right\}$ÊÇÒÔ3ΪÊ×ÏÒÔ3Ϊ¹«±ÈµÄµÈ±ÈÊýÁУ¬½ø¶ø¿ÉµÃ½áÂÛ£»
£¨2£©Í¨¹ý${a_n}={£¨{3^n}-1£©^2}$£¬ÀûÓÃ${b_1}+\frac{b_2}{2}+\frac{b_3}{3}+¡­+\frac{b_n}{n}={3^n}-1$Óë${b_1}+\frac{b_2}{2}+\frac{b_3}{3}+¡­+\frac{{{b_{n-1}}}}{n-1}={3^{n-1}}-1£¨n¡Ý2£©$×÷²î¿ÉµÃ$\frac{b_n}{n}=2•{3^{n-1}}£¨n¡Ý2£©$£¬ÔÙд³öT_n¡¢3T_nµÄ±í´ïʽ£¬´íλÏà¼õ¼ÆËã¼´µÃ½áÂÛ£®

½â´ð ½â£º£¨1£©¡ßf£¨x£©=£¨3$\sqrt{x}$+2£©²£¨x¡Ý0£©£¬ÊýÁÐ{a_n}Âú×㣺a_n+1=f£¨a_n£©£¬
¡à$\sqrt{{a}_{n+1}}$=3$\sqrt{{a}_{n}}$+2£¬
¡à$\sqrt{{a}_{n+1}}$+1=3£¨$\sqrt{{a}_{n}}$+1£©£¬
ÓÖ¡ßa₁=4£¬
¡à$\sqrt{{a}_{1}}$+1=3£¬
¡à$\left\{{\sqrt{a_n}+1}\right\}$ÊÇÒÔ3ΪÊ×ÏÒÔ3Ϊ¹«±ÈµÄµÈ±ÈÊýÁУ¬
¡à$\sqrt{a_n}+1={3^n}$£¬
¡à${a_n}={£¨{3^n}-1£©^2}$£»
£¨2£©¡ß${a_n}={£¨{3^n}-1£©^2}$£¬
¡à${b_1}+\frac{b_2}{2}+\frac{b_3}{3}+¡­+\frac{b_n}{n}={3^n}-1$£¬
${b_1}+\frac{b_2}{2}+\frac{b_3}{3}+¡­+\frac{{{b_{n-1}}}}{n-1}={3^{n-1}}-1£¨n¡Ý2£©$
¡à$\frac{b_n}{n}=2•{3^{n-1}}£¨n¡Ý2£©$£¬
¡à${b_n}=2n{3^{n-1}}£¨n¡Ý2£©$£¬
ÓÖ¡ßb₁=2·ûºÏÉÏʽ£¬
¡à${b_n}=2n{3^{n-1}}£¨n¡Ê{N^*}£©$£»
¡àT_n=2¡Á1¡Á3^1-1+2¡Á2¡Á3^2-1+¡­+2¡Án¡Á3^n-1£¬
3T_n=2¡Á1¡Á3^2-1+2¡Á2¡Á3^3-1+¡­+2¡Á£¨n-1£©¡Á3^n-1+2¡Án¡Á3ⁿ£¬
¡àT_n-3T_n=2¡Á1¡Á3^1-1+2¡Á1¡Á3^2-1+¡­+2¡Á1¡Á3^n-1-2¡Án¡Á3ⁿ
=2£¨1+3+3²+¡­+3^n-1£©-2¡Án¡Á3ⁿ
=2•$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$-2¡Án¡Á3ⁿ
=-[£¨2-1£©3ⁿ+1]£¬
¡à${T_n}=£¨n-\frac{1}{2}£©{3^n}+\frac{1}{2}$£®

µãÆÀ ±¾ÌâÊÇÒ»µÀ¹ØÓÚÊýÁеÄ×ÛºÏÌ⣬¿¼²éÇóÊýÁеÄͨÏî¡¢ÇóºÍ¹«Ê½£¬¿¼²éÔËËãÇó½âÄÜÁ¦£¬×¢Òâ½âÌâ·½·¨µÄ»ýÀÛ£¬ÊôÓÚÖеµÌ⣮