Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，侧棱A₁A与AB、AC均成45°角，且A₁E⊥B₁B于E，A₁F⊥CC₁于F．
（1）求证：平面A₁EF⊥平面B₁BCC₁；
（2）求直线AA₁到平面B₁BCC₁的距离．

Answer 1

分析：（1）欲证平面A₁EF⊥平面B₁BCC₁，根据面面垂直的判定定理可知在平面B₁BCC₁内一直线与平面A₁EF垂直，而根据线面垂直的判定定理可知CC₁⊥平面A₁EF；
（2）作A₁H⊥EF于H，根据线面垂直的性质定理可知A₁H⊥面B₁BCC₁，则A₁H为A₁到面B₁BCC₁的距离，在△A₁EF中，求出EF，然后根据△A₁EF为等腰Rt△且EF为斜边，得到A₁H=

1

2

EF，即可求出所求．

解答：解：
（1）证明：CC₁∥BB₁，又BB₁⊥A₁E，
∴CC₁⊥A₁E，而CC₁⊥A₁F，∴CC₁⊥平面A₁EF，
∴平面A₁EF⊥平面B₁BCC₁
（2）作A₁H⊥EF于H，则A₁H⊥面B₁BCC₁，
∴A₁H为A₁到面B₁BCC₁的距离，在△A₁EF中，A₁E=A₁F=

2

，EF=2，
∴△A₁EF为等腰Rt△且EF为斜边，
∴A₁H为斜边上中线，可得A₁H=

1

2

EF=1

点评：本小题主要考查空间中的线面关系，考查面面垂直的判定及线面距离的计算，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力，考查转化思想，属于基础题．