Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB．
（1）设M是线段CD的中点，求证：AM∥平面BCE；
（2）求直线CB与平面ABED所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）取CE中点N，连接MN，BN，根据三角形中位线性质，我们易得四边形ABNM为平行四边形，则AM∥BN，再由线面平行的判定定理可得AM∥平面BCE．
（II）取AD中点H，连接BH，结合正三角形的性质，及线面垂直的性质，由已知中AB⊥平面ACD，△ACD是正三角形，我们可由线面垂直的判定定理得到CH⊥平面ABED，则∠CBH为直线 CB与平面ABED所成的角，解三角形CBH即可得到答案．

解答：证明：（I）取CE中点N，连接MN，BN
则MN∥DE∥AB且MN=

1

2

DE=AB
∴四边形ABNM为平行四边形∴AM∥BN  …（4分）
∴AM∥平面BCE …（6分）
解：（Ⅱ）取AD中点H，连接BH，
∵△ACD是正三角形，∴CH⊥AD   …（8分）
又∵AB⊥平面ACD∴CH⊥AB
∴CH⊥平面ABED…（10分）      
∴∠CBH为直线 CB与平面ABED所成的角…（12分）
设AB=a，则AC=AD=2a，∴BH=

2

a   BC=

5

a
cos∠CBH=

BH

BC

=

2 a

5 a

=

10

5

    …（14分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面平行的判定，其中（1）的关键是得到AM∥BN，（2）的关键是得到∠CBH为直线 CB与平面ABED所成的角．