Question

6、设f₀（x）=sin x，f₁（x）=f₀′（x），f₂（x）=f₁′（x），…，f_n+1（x）=f_n′（x），n∈N，则f₂₀₁₀（x）=

-sinx

．

Answer 1

分析：由题意首先求出f₁（x）、f₂（x）、f₃（x）、f₄（x）、f₅（x）、观察所求结果，发现结果成周期性出现．利用周期性求f₂₀₁₀（x）的值即可．

解答：解：∵f₁（x）=（sinx）′=cosx，
f₂（x）=（cosx）′=-sinx，
f₃（x）=（-sinx）′=-cosx，
f₄（x）=（-cosx）′=sinx，
f₅（x）=（sinx）′=f₁（x），f₆（x）=f₂（x），．
∴f_n+4（x）=f_n（x），即周期T为4．
∴f₂₀₁₀（x）=f₂（x）=-sinx．
故答案为：-sinx

点评：本题考查三角函数求导、函数周期性的应用，考查观察、归纳方法的应用．