Question

某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产万件，需另投入的成本为（单位：万元），当年产量小于80万件时，;当年产量不小于80万件时，.假设每万件该产品的售价为50万元，且该厂当年生产的该产品能全部销售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数关系式；
（2）年产量为多少万件时，该厂在该产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

（1）；（2）100万件，1000万元

解析试题分析：（1）利润销售额成本，销售额销售量单价，设年产量为（万件），当 时，销售额，成本； 当时，销售额，成本；（2）转化为求的最大值即可，注意解决实际问题的基本步骤：审题、建模、解模、还原。
（1）当时，
；
当时，.
所以              6′
（2）当     8′
当时，，当且仅当，即时，等号成立，所以.                     11′
综上，当时，取得最大值，即年产量为100万件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是1000万元.       12′
考点：（1）求分段函数的解析式及最值；（2）基本不等式在求最值中的应用。