Question

5．已知函数f（x）=x³-3ax-1（a∈R）
（1）试讨论函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）=0在x∈[0，1]上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，题干讨论a的范围，得到函数的单调性，从而求出其单调区间；（2）题干讨论a的范围结合函数的单调性得到不等式，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-3a，
当a≤0时，f′（x）≥0，
∴函数f（x）在（-∞，+∞）单调递增，
当a＞0时，由f′（x）＞0，解得：x＜-$\sqrt{a}$或x＞$\sqrt{a}$，
f′（x）＜0，解得：-$\sqrt{a}$＜x＜$\sqrt{a}$，
∴函数f（x）在（-∞，-$\sqrt{a}$）递增，在（-$\sqrt{a}$，$\sqrt{a}$）递减，在（$\sqrt{a}$，+∞）递增；
（2）由（1）得：
当a≤0时，f（x）在[0，1]递增，∴f（x）≤f（1），
∴满足f（1）≤0即可，解得：a=0，
当0＜a＜1时，f（x）在[0，$\sqrt{a}$]递减，在[$\sqrt{a}$，1]递增，
∴满足$\left\{\begin{array}{l}{f（0）≤0}\\{f（1）≤0}\end{array}\right.$即可，解得：0＜a＜1，
当a≥1时，f（x）在[0，1]上单调递减，f（x）≤f（0），
∴f（x）≤0恒成立，
故实数a的范围是[0，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题．