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5.已知函数f(x)=x3-3ax-1(a∈R)
(1)试讨论函数f(x)的单调区间;
(2)若f(x)=0在x∈[0,1]上恒成立,求a的取值范围.

分析 (1)先求出函数的导数,题干讨论a的范围,得到函数的单调性,从而求出其单调区间;(2)题干讨论a的范围结合函数的单调性得到不等式,解出即可.

解答 解:(1)f′(x)=3x2-3a,
当a≤0时,f′(x)≥0,
∴函数f(x)在(-∞,+∞)单调递增,
当a>0时,由f′(x)>0,解得:x<-$\sqrt{a}$或x>$\sqrt{a}$,
f′(x)<0,解得:-$\sqrt{a}$<x<$\sqrt{a}$,
∴函数f(x)在(-∞,-$\sqrt{a}$)递增,在(-$\sqrt{a}$,$\sqrt{a}$)递减,在($\sqrt{a}$,+∞)递增;
(2)由(1)得:
当a≤0时,f(x)在[0,1]递增,∴f(x)≤f(1),
∴满足f(1)≤0即可,解得:a=0,
当0<a<1时,f(x)在[0,$\sqrt{a}$]递减,在[$\sqrt{a}$,1]递增,
∴满足$\left\{\begin{array}{l}{f(0)≤0}\\{f(1)≤0}\end{array}\right.$即可,解得:0<a<1,
当a≥1时,f(x)在[0,1]上单调递减,f(x)≤f(0),
∴f(x)≤0恒成立,
故实数a的范围是[0,+∞).

点评 本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用,分类讨论思想,是一道中档题.

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 女同学 8 12 20
 总计 24 18 42
通过计算得x2=4.852,则参加“篮球小组”与性别间有关系的可能性为(  )
(下面临界值表供参考
 P(x2≥k) 0.05 0.01
 k 3.841 6.635
A.99%B.95%C.90%D.无关系

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