Question

已知函数f(x)=x+log2

x

3-x

(x∈(0，3))
（1）求证：f（x）+f（3-x）为定值．
（2）记S(n)=

1

2n

2n-1

i=1

f(1+

i

2n

)(n∈N*)，求S（n）．
（3）若函数f（x）的图象与直线x=1，x=2以及x轴所围成的封闭图形的面积为S，试探究S（n）与S的大小关系．

Answer 1

分析：（1）把x及3-x分别代入已知函数即可求解f（x）+f（3-x）的值；
（2）由（1）知，f(1+

1

2n

)+f(1+

2n-1

2n

)=3，f(1+

2

2n

)+f(1+

2n-2

2n

)=3，…，结合此规律，可考虑利用倒序相加可求和；
（3）由f（x）=x+log2(

3

3-x

-1)为增函数，结合（1）知函数y=f（x）的图象关于点（

3

2

，

3

2

）对称，记点A（1，0），B（2，3），C（2，0），可求封闭图形的面积等于△ABC的面积，即S=

3

2

，而，可判断

解答：解（Ⅰ）∵f（x）+f（3-x）
=（x+log2

x

3-x

）+[（3-x）+log2

3-x

x

]
=（x+3-x）+log2

x

3-x

•

3-x

x

=3+log2

x

3-x

•

3-x

x

=3+0=3；
（2）S(n)=

1

2n

2n-1

i=1

f(1+

i

2n

)(n∈N*)
=

1

2n

[f(1+

1

2n

)+f(1+

2

2n

)+…+f(1+

2n-1

2n

)]①，
Sn=

1

2n

[f(1+

2n-1

2n

)+f(1+

2n-2

2n

)+…+f(1+

1

2n

)]②，
由（1）知，f(1+

1

2n

)+f(1+

2n-1

2n

)=3，f(1+

2

2n

)+f(1+

2n-2

2n

)=3，…
①+②得：2Sn=

1

2n

[3•(2n-1)]=3（1-

1

2n

），
∴Sn=

3

2

(1-

1

2n

)；
（3）∵f（x）=x+log2(

3

3-x

-1)为增函数，
∴x∈[1，2]时，f（x）＞f（1）=0，
由（1）知函数y=f（x）的图象关于点（

3

2

，

3

2

）对称，记点A（1，0），B（2，3），C（2，0），
所求封闭图形的面积等于△ABC的面积，即S=

3

2

，
∵Sn=

3

2

(1-

1

2n

)＜

3

2

，
∴S（n）＜S．

点评：本题以函数的基本运算为基本载体，主要考查了数列求和的倒序相加求解和的方法的应用，解题的关键是寻求题目的规律