Question

某商品在近30天内每件的销售价格P元和时间t（t∈N）的关系如图所示．
（1）请确定销售价格P（元）和时间t（天）的函数解析式；
（2）该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的关系是：Q=-t+40（0≤t≤30，t∈N），求该商品的日销售金额y（元）与时间t（天）的函数解析式；
（3）求该商品的日销售金额y（元）的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的哪一天？

Answer 1

分析：（1）根据已知中的图象可得函数是一个分段函数，分0≤t＜25和25≤t≤30，t∈N两种情况，利用待定系数法可分别求出两段的解析式，最后综合讨论结果可得答案．
（2）根据商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的关系是：Q=-t+40（0≤t≤30，t∈N），结合（1）中销售价格P（元）和时间t（天）的函数解析式，根据：日销售金额=销售价格×销售量得到答案．
（3）根据（2）中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，求出函数的最大值点及最大值，可得答案．

解答：解：（1）当0≤t＜25，t∈N，
设P=at+b，将（0，19），（25，44）代入，
得

19=b 44=25a+b

…（1分）
解之得

a=1 b=19

，
∴P=t+19（0≤t＜25，t∈N）…（2分）
当25≤t≤30，t∈N，
同理可得P=-t+100，…（3分）
综上所述：销售价格P（元）和时间t（天）的函数解析式为P=

t+19，(0≤t＜25，t∈N) -t+100，(25≤t≤30，t∈N)

…（4分）
（2）由题意得，y=P•Q，由（1）得
y=

(t+19)(-t+40)，(0≤t＜25，t∈N) (-t+100)(-t+40)，(25≤t≤30，t∈N)

即：y=

-t2+21t+760，(0≤t＜25，t∈N) t2-140t+4000，(25≤t≤30，t∈N)

（3）由y=

-t2+21t+760，(0≤t＜25，t∈N) t2-140t+4000，(25≤t≤30，t∈N)

当0≤t＜25，t∈N，由二次函数的图象和性质知
t=10，或t=11时，y取最大值870元
当25≤t≤30，t∈N，由二次函数的图象和性质知
t=25时，y取最大值1125元
综上所述，在第25天，日销售金额有最大值1125元

点评：本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中根据已知中函数的图象利用待定系数法，求出函数的解析式是解答的关键．