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设n个正数a1,a2,…,an满足a1≤a2≤…≤an(n∈N*且n≥3).
(1)当n=3时,证明:
a1a2
a3
+
a2a3
a1
+
a3a1
a2
≥a1+a2+a3
(2)当n=4时,不等式
a1a2
a3
+
a2a3
a4
+
a3a4
a1
+
a4a1
a2
≥a1+a2+a3+a4也成立,请你将其推广到n(n∈N*且n≥3)个正数a1,a2,…,an的情形,归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明.
考点:数学归纳法,不等式的证明
专题:综合题,推理和证明
分析:(1)利用作差法证明即可;
(2)归纳的不等式为:
a1a2
a3
+
a2a3
a4
+…+
an-2an-1
an
+
an-1an
a1
+
ana1
a2
a1+a2+…+an
(n∈N*且n≥3),再用数学归纳法进行证明.
解答: (1)证明:因为an(n∈N*且n≥3)均为正实数,
左-右=
1
2
(
a1a3
a2
+
a1a2
a3
-2a1)+
1
2
(
a2a3
a1
+
a1a2
a3
-2a2)+
1
2
(
a2a3
a1
+
a1a3
a2
-2a3)
1
2
(2
a1a3
a2
×
a1a2
a3
-2a1)+
1
2
(2
a2a3
a1
×
a1a2
a3
-2a2)+
1
2
(2
a2a3
a1
×
a1a3
a2
-2a3)
=0,
所以,原不等式
a2a3
a1
+
a1a3
a2
+
a1a2
a3
a1+a2+a3
成立.    …(4分)
(2)解:归纳的不等式为:
a1a2
a3
+
a2a3
a4
+…+
an-2an-1
an
+
an-1an
a1
+
ana1
a2
a1+a2+…+an
(n∈N*且n≥3).…(5分)
Fn=
a1a2
a3
+
a2a3
a4
+…+
an-2an-1
an
+
an-1an
a1
+
ana1
a2
-(a1+a2+…+an)

当n=3(n∈N*)时,由(1)知,不等式成立;
假设当n=k(k∈N*且k≥3)时,不等式成立,即Fk=
a1a2
a3
+
a2a3
a4
+…+
ak-2ak-1
ak
+
ak-1ak
a1
+
aka1
a2
-(a1+a2+…+ak)≥0

则当n=k+1时,Fk+1=
a1a2
a3
+
a2a3
a4
+…+
ak-2ak-1
ak
+
ak-1ak
ak+1
+
akak+1
a1
+
ak+1a1
a2
-(a1+a2+…+ak+ak+1)

=Fk+
ak-1ak
ak+1
+
akak+1
a1
+
ak+1a1
a2
-
ak-1ak
a1
-
aka1
a2
-ak+1
…(7分)
=Fk+ak-1ak(
1
ak+1
-
1
a1
)+ak+1(
ak
a1
-1)+
a1
a2
(ak+1-ak)
≥0+
a
2
k
(
1
ak+1
-
1
a1
)+ak+1(
ak
a1
-1)+
a1
ak
(ak+1-ak)

=(ak+1-ak)(
ak
a1
+
a1
ak
-
ak+1+ak
ak+1
)

因为ak+1≥ak
ak
a1
+
a1
ak
≥2
ak+1+ak
ak+1
ak+1+ak+1
ak+1
=2

所以Fk+1≥0,
所以当n=k+1,不等式成立.                   …(9分)
综上所述,不等式
a1a2
a3
+
a2a3
a4
+…+
an-2an-1
an
+
an-1an
a1
+
ana1
a2
a1+a2+…+an
(n∈N*且n≥3)成立.…(10分)
点评:本题考查等式的证明,数学归纳法的证明方法的应用,考查计算能力与逻辑推理能力.
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1,x≥2
-1,x<2
,则不等式x2-f(x)+x-2≤0的解集是
 

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已知向量
a
=(sinx,cosx),
b
=(1,2)且
a
b
,则tan2x的值为(  )
A、-
4
3
B、
4
3
C、
2
3
D、-
2
3

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若a>0,a4=
4
9
,则log 
2
3
a=
 

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已知
a
=(2,-3,1),
b
=(2,0,3),
c
=(0,-1,2),则
a
b
+
c
)等于(  )
A、2B、6C、9D、12

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已知双曲线的
x2
9
-
y2
b2
=1的右焦点坐标为(
13
,0),则该双曲线的渐近线方程为(  )
A、y=±
2
3
x
B、y=±
3
2
x
C、y=±
4
9
x
D、y=±
9
4
x

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