Question

火山喷发后，会在喷发区及周边地区地面上堆积起大量火山灰．在一次火山喷发停止后对地面火山灰的堆积量进行测量，设定距离喷口中心50m内的圆形区域为第1区，距离喷口中心50m至100m的圆环形区域为第2区，距离喷口中心100m至150m的圆环形区域为第3区，…，距离喷口中心50（n-1）m至50nm的圆环形区域为第n区…．测得第1区火山灰堆积重量平均为1000kg/m²，第2区火山灰每平方米的平均重量比第1区减少2%，第3区比第2区又减少2%，…，依此类推（题中n∈N*，m表示长度单位米，kg表示重量单位千克）．
（1）若第n区平均每平方米火山灰的堆积重量为a_n（kg），写出a_n的表达式；
（2）第几区内的火山灰的总重量最大？

Answer 1

解：（1）由题意，∵第1区火山灰堆积重量平均为1000kg/m²，第2区火山灰每平方米的平均重量比第1区减少2%，第3区比第2区又减少2%，…，依此类推，
∴{a_n}组成以1000为首项，以1-0.02=0.98为公比的等比数列，…（4分）
所以a_n=1000×0.98^n-1．…（6分）
（2）设第n区的面积为b_nm²，
则b_n=π•{（50n）²-[50（n-1）]²}=2500π•（2n-1），…（8分）
则第n区内火山灰的总重量为a_n•b_n=1000•2500π（2n-1）•（0.98）^n-1，…（10分）
设c_n=（2n-1）•（0.98）^n-1，若c_n最大，则有，
即，解得，
即49.5≤n≤50.5，…（13分）
所以n=50．即第50区内的火山灰总重量最大．…（14分）
分析：（1）由于第1区火山灰堆积重量平均为1000kg/m²，第2区火山灰每平方米的平均重量比第1区减少2%，第3区比第2区又减少2%，…，依此类推，故{a_n}组成以1000为首项，以1-0.02=0.98为公比的等比数列，从而可求a_n的表达式；
（2）先求第n区的面积为b_nm²，再求第n区内火山灰的总重量为a_n•b_n=1000•2500π（2n-1）•（0.98）^n-1，设c_n=（2n-1）•（0.98）^n-1，若c_n最大，则有，从而可得n的值．
点评：本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查等比数列模型的构建即利用模型解决实际问题，关键是实际问题向数学问题的转化，同时考查解不等式．