Question

已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆的离心率是

3

2

，椭圆上任意一点到两个焦点距离之和为4．
（1）求椭圆标准方程；
（2）设椭圆长轴的左端点为A，P是椭圆上且位于第一象限的任意一点，AB∥OP，点B在椭圆上，R为直线AB与y轴的交点，证明：

AB

•

AR

=2

OP

2．

Answer 1

分析：（1）由题意设出椭圆的标准方程，根据椭圆的离心率结合长轴长及c²=a²-b²即可求得答案；
（2）由椭圆方程求出A的坐标，设出P、B、R的坐标，由P和点B都在椭圆上得两点的坐标适合椭圆方程，再由AB∥OP得其斜率相等，列式得到P、B两点坐标的关系式，写出直线AB的方程，把R的坐标代入AB的方程得到B和R的坐标的关系式，然后运用坐标的关系分别表示出等式

AB

•

AR

=2

OP

2的左右两边，从而问题得到证明．

解答：（1）解：根据题设，可设椭圆标准方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
则离心率e=

c

a

=

3

2

，c2=a2-b2(c＞0)，由椭圆定义，得2a=4
解得a=2，b=1，c=

3

所以椭圆标准方程为：

x2

4

+y2=1
（2）证明：由题意得A（-2，0），设P（x₁，y₁），B（x₂，y₂），R（0，y₃），其中x₁＞0，y₁＞0，
点P和点B都在椭圆上，则有

x 2 1

4

+

y

2 1

=1①

x 2 2

4

+

y

2 2

=1②
由AB∥OP，有kOP=

y1-0

x1-0

=kAB=

y2-0

x2-(-2)

，
即

y1

x1

=

y2

x2+2

③
由x₁＞0，y₁＞0可知x₂≠-2．
AB直线方程为：y-0=k_AB[x-（-2）]，即y=

y2

x2+2

(x+2)．
把R（0，y₃）代入，得y3=

2y2

x2+2

所以有

AB

=(x2+2，y2)，

OP

=(x2，y2)，

AR

=(2，

2y2

x2+2

)，
可得：

AB

•

AR

=2(x2+2)+

2 y 2 2

x2+2

④
2|

OP

|2=2(

x

2 1

+

y

2 1

)⑤
由①，②，③得：

x

2 1

=x2+2⑥
由①，⑤得：2|

OP

|2=2(

x

2 1

+

y

2 1

)=2+

3

2

x

2 1

⑦
由②，④得：

AB

•

AR

=2(x2+2)+

2 y 2 2

x2+2

=5+

3

2

x2⑧
由⑦，⑥得：2|

OP

|2=2(

x

2 1

+

y

2 1

)=2+

3

2

x

2 1

=5+

3

2

x2⑨
由⑧，⑨可证得：

AB

•

AR

=2

OP

2．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，训练了代值思想方法，解答此题的关键是在设出点的坐标后能找到各坐标之间的关系，要求考生具备较强的运算推理的能力，是难题．