Question

【题目】已知函数f（x）= x3﹣ ax2 ， a∈R，
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当a=2时，f（x）= x3﹣x2，

∴f′（x）=x2﹣2x，

∴k=f′（3）=9﹣6=3，f（3）= ×27﹣9=0，

∴曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程y=3（x﹣3），即3x﹣y﹣9=0

（2）

函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx= x3﹣ ax2+（x﹣a）cosx﹣sinx，

∴g′（x）=x2﹣ax+cosx﹣（x﹣a）sinx﹣cosx=x2﹣ax+（x﹣a）sinx=（x﹣a）（x+sinx），

令g′（x）=0，解得x=a，或x=0，

当x＜0时，x+sinx＜0，当x≥0，x+sinx≥0，

①若a＞0时，当x＜0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，

当x＞a时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（a，+∞）上单调递增，

当0＜x＜a时，g′（x）＜0恒成立，故g（x）在（0，a）上单调递减，

∴当x=a时，函数有极小值，极小值为g（a）=﹣ a3﹣sina

当x=0时，有极大值，极大值为g（0）=﹣a，

②若a＜0时，当x＞0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，

当x＜a时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，a）上单调递增，

当a＜x＜0时，g′（x）＜0恒成立，故g（x）在（a，0）上单调递减，

∴当x=a时，函数有极大值，极大值为g（a）=﹣ a3﹣sina

当x=0时，有极小值，极小值为g（0）=﹣a

③当a=0时，g′（x）=x（x+sinx），

当x＞0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（0，+∞）上单调递增，

当x＜0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，

∴g（x）在R上单调递增，无极值．

【解析】（1）根据导数的几何意义即可求出曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程，（2）先求导，再分类讨论即可求出函数的单调区间和极值
【考点精析】通过灵活运用基本求导法则和利用导数研究函数的单调性，掌握若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导；一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减即可以解答此题．