【题目】已知函数.
(1)若,求函数的极值;
(2)若在区间内有唯一的零点,求的取值范围.
【答案】(1)极小值,无极大值.(2)
【解析】分析:⑴当时,化简函数的解析式,求出定义域,函数的导数,求出极值点,利用导函数的符号判断函数的单调性,求解极值即可
⑵法一:利用,通过导函数为,构造新函数,通过分类讨论求解即可
法二:令,由,得,设,则,,问题转化为直线与的图象在恰有一个交点问题,即可求出的取值范围
详解:(1)当时,,,
,
由,令,得,
当变化时,,的变化如下表:
- | 0 | + | |
↘ | 极小值 | ↗ |
故函数在单调递减,在单调递增,有极小值,无极大值.
(2)解法一:
,
令,得,设,
则在有唯一的零点等价于在有唯一的零点,
当时,方程的解为,满足题意;
当时,由函数的图象的对称轴,函数在上单调递增,且,,所以满足题意;
当,时,,此时方程的解为,不符合题意;
当,时,由,只需,得,
综上,.
解法二:
,
令,由,得,
设,则,,
问题转化为直线与的图象在恰有一个交点问题,
又当时,单调递增,
故直线与函数的图象恰有一个交点,当且仅当.
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【题目】如图,已知六棱锥的底面是正六边形,平面,,给出下列结论:
①;
②直线平面;
③平面平面;
④异面直线与所成角为;
⑤直线与平面所成角的余弦值为.
其中正确的有_______(把所有正确的序号都填上)
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【题目】我国古代著名的周髀算经中提到:凡八节二十四气,气损益九寸九分六分分之一;冬至晷长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺六寸意思是:一年有二十四个节气,每相邻两个节气之间的日影长度差为分;且“冬至”时日影长度最大,为1350分;“夏至”时日影长度最小,为160分则“立春”时日影长度为
A. 分B. 分C. 分D. 分
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【题目】如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0,10),分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1 , A2 , …,A9和B1 , B2 , …,B9 , 连接OBi , 过Ai作x轴的垂线与OBi , 交于点 .
(1)求证:点 都在同一条抛物线上,并求抛物线E的方程;
(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M,N,若△OCM与△OCN的面积之比为4:1,求直线l的方程.
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【题目】某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系,随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩(百分制)如下表所示:
序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
数学成绩 | 95 | 75 | 80 | 94 | 92 | 65 | 67 | 84 | 98 | 71 | 67 | 93 | 64 | 78 | 77 | 90 | 57 | 83 | 72 | 83 |
物理成绩 | 90 | 63 | 72 | 87 | 91 | 71 | 58 | 82 | 93 | 81 | 77 | 82 | 48 | 85 | 69 | 91 | 61 | 84 | 78 | 86 |
若数学成绩90分(含90分)以上为优秀,物理成绩85(含85分)以上为优秀,则有多少把握认为学生的数学成绩与物理成绩有关系( )
A. 95% B. 97.5% C. 99.5% D. 99.9%
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,,为椭圆上一点,且垂直于轴,连结并延长交椭圆于另一点,设.
(1)若点的坐标为,求椭圆的方程及的值;
(2)若,求椭圆的离心率的取值范围.
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【题目】某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93,下列说法正确的是( )
A.这种抽样方法是一种分层抽样
B.这种抽样方法是一种系统抽样
C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D.该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数
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【题目】2018年至2020年,第六届全国文明城市创建工作即将开始.在2017年9月7日召开的攀枝花市创文工作推进会上,攀枝花市委明确提出“力保新一轮提名城市资格、确保2020年创建成功”的目标.为了确保创文工作,今年初市交警大队在辖区开展“机动车不礼让行人整治行动” .下表是我市一主干路口监控设备抓拍的5个月内 “驾驶员不礼让斑马线”行为统计数据:
月份 | |||||
违章驾驶员人数 |
(Ⅰ)请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程;
(Ⅱ)预测该路口7月份不“礼让斑马线”违章驾驶员的人数;
(Ⅲ)交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人,调查“驾驶员不礼让斑马线”行为与驾龄的关系,得到如下列联表:
不礼让斑马线 | 礼让斑马线 | 合计 | |
驾龄不超过年 | |||
驾龄年以上 | |||
合计 |
能否据此判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关?
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