Question

设
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）是否存在实数a、使得关于x的不等式lnx＜a（x-1）在（1，+∞）上恒成立，若存在，求出a的取值范围，若不存在，试说明理由；

Answer 1

证明：（1）∵
∴，
设．
∴，
∴y=g（x）在[1，+∞）上为减函数．
∴，
∴，
∴函数在（1，+∞）上为减函数．
（2）lnx＜a（x-1）在（1，+∞）上恒成立，?lnx-a（x-1）＜0在（1，+∞）上恒成立，
设h（x）=lnx-a（x-1），则h（1）=0，
∴，
若a≤0显然不满足条件，
若a≥1，则x∈[1，+∞）时，恒成立，
∴h（x）=lnx-a（x-1）在[1，+∞）上为减函数
∴lnx-a（x-1）＜h（1）=0在（0，+∞）上恒成立，
∴lnx＜a（x-1）在（1，+∞）上恒成立，
若0＜a＜1，则时，，
∴时h'（x）≥0，
∴h（x）=lnx-a（x-1）在上为增函数，
当时，h（x）=lnx-a（x-1）＞0，
不能使lnx＜a（x-1）在（1，+∞）上恒成立，
∴a≥1
分析：（1）对f（x）求导后，构造新的函数g（x），利用导数求解函数单调的方法步骤进行求解．
（2）根据已知lnx＜a（x-1）在（1，+∞）上恒成立等价于lnx-a（x-1）＜0在（1，+∞）上恒成立，构造新的函数h（x）=lnx-a（x-1），本题所要求的a的取值范围，只需满足一个条件：使得h（x）在定义域内为减函数即可．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性问题，这一道题的新颖之处是构造新的函数，这也是教学中的重点和难点，希望在平时多加练习，掌握要领．