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数学公式
(Ⅰ)判断函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)是否存在实数a、使得关于x的不等式lnx<a(x-1)在(1,+∞)上恒成立,若存在,求出a的取值范围,若不存在,试说明理由;

证明:(1)∵



∴y=g(x)在[1,+∞)上为减函数.

∴,
∴函数在(1,+∞)上为减函数.
(2)lnx<a(x-1)在(1,+∞)上恒成立,?lnx-a(x-1)<0在(1,+∞)上恒成立,
设h(x)=lnx-a(x-1),则h(1)=0,

若a≤0显然不满足条件,
若a≥1,则x∈[1,+∞)时,恒成立,
∴h(x)=lnx-a(x-1)在[1,+∞)上为减函数
∴lnx-a(x-1)<h(1)=0在(0,+∞)上恒成立,
∴lnx<a(x-1)在(1,+∞)上恒成立,
若0<a<1,则时,
时h'(x)≥0,
∴h(x)=lnx-a(x-1)在上为增函数,
时,h(x)=lnx-a(x-1)>0,
不能使lnx<a(x-1)在(1,+∞)上恒成立,
∴a≥1
分析:(1)对f(x)求导后,构造新的函数g(x),利用导数求解函数单调的方法步骤进行求解.
(2)根据已知lnx<a(x-1)在(1,+∞)上恒成立等价于lnx-a(x-1)<0在(1,+∞)上恒成立,构造新的函数h(x)=lnx-a(x-1),本题所要求的a的取值范围,只需满足一个条件:使得h(x)在定义域内为减函数即可.
点评:本题考查利用导数研究函数的单调性问题,这一道题的新颖之处是构造新的函数,这也是教学中的重点和难点,希望在平时多加练习,掌握要领.
练习册系列答案
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1
2
x+1
x-1

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(2)证明函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;
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1
2
)x+m
恒成立,求实数m的取值范围.

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设f(x)=log 
1
2
1-ax
x-1
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(1)求a的值;
(2)判断函数f(x)在区间(1,+∞)的单调性并证明;
(3)若对于区间[3,4]上的每一个x的值,f(x)>(
1
2
x+m恒成立,求实数m的取值范围.

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