Question

椭圆焦点在x轴，离心率为，直线y=1-x与椭圆交于M，N两点，满足OM⊥ON，求椭圆方程．

Answer 1

解：设椭圆方程+=1（a＞b＞0），
∵e=，∴a²=4b²，即a=2b．
∴椭圆方程为+=1．
把直线方程代入化简得5x²-8x+4-4b²=0．
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），则
x₁+x₂=，x₁x₂=（4-4b²）．
∴y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+x₁x₂=（1-4b²）．
由于OM⊥ON，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
解得b²=，a²=．
∴椭圆方程为x²+y²=1．
分析：设出椭圆的方程，然后根据题意将已知代入方程，并运用设而不求韦达定理求出参数a，b．最后写出椭圆方程．
点评：本题考查双曲线与椭圆方程的应用，根据双曲线方程，设出椭圆方程，并根据已知求解．考查了学生对双曲线以及椭圆知识的糅合，属于中档题．