Question

【题目】已知函数f（x）=ln（x+1）﹣ax，a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当x＞1时，f（x﹣1）≤ 恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解： f（x）的定义域为（﹣1，+∞），

f'（x）= = ；

①若a≤0，则f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；

②若a＞0，则f'（x）=0得x= ，

当x∈（﹣1， ）时，f'（x）＞0，

当x∈（ ，+∞）时，f'（x）＜0；

∴f（x）在（﹣1， ）上单调递增，在（ ，+∞）上单调递减．

综上，当a≤0时，f（x）的单调增区间为（﹣1，+∞）；

当a＞0时，f（x）的单调增区间为（﹣1， ），单调减区间为（ ）；

（2）解：f（x﹣1）﹣ = ；

令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），x≥1，g'（x）=lnx+1﹣2ax；

令h（x）=lnx+1﹣2ax，h'（x）= ﹣2a= ；

①若a≤0，h'（x）＞0，g'（x）在[1，+∞）递增，g'（x）≥g'（1）=1﹣2a≥0；

∴g（x）在[1，+∞）上递增，g（x）≥g（1）=0；

从而f（x﹣1）﹣ ≥0，不符合题意．

②若0＜a＜ ，当x∈（1， ）时，h'（x）＞0，g'（x）在（1， ）上递增，

从而g'（x）＞g'（1）=1﹣2a＞0；

所以，g（x）在[1，+∞）递增，g（x）≥g（1）=0；

从而f（x﹣1）﹣ ≥0，不符合题意．

③若a≥ ，h'（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，

所以g'（x）在[1，+∞）上递减，g'（x）≤g'（1）=1﹣2a≤0；

从而g（x）在[1，+∞）递减，

所以g（x）≤g（1）=0；

∴f（x﹣1）﹣ 0；

综上所以，a的取值范围是[ ，+∞）．

【解析】（1）首先对f（x）求导，分类讨论a判断函数的单调性即可；（2）由题意知：f（x﹣1）﹣ = ，令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），x1，g'（x）=lnx+1﹣2ax，令h（x）=lnx+1﹣2ax，h'（x）= ﹣2a= ；利用导数判断函数的单调性从而求出a的取值范围．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．