Question

已知函数f（x）=log₃（x²-2mx+2m²+

9

m2-3

）的定义域为R．
（1）求实数m的取值集合M；
（2）求证：对m∈M所确定的所有函数f（x）中，其函数值最小的一个是2，并求使函数值等于2的m的值和x的值．

Answer 1

分析：（1）将函数的定义域为R转化成x²-2mx+2m²+

9

m2-3

＞0对任意的x∈R恒成立，然后利用判别式建立关系即可；
（2）利用基本不等式求出对数的真数的最小值，然后根据对数函数的单调性求出f（x）的最小值，从而建立关系式，解之即可求出所求．

解答：解：（1）由题意，有x²-2mx+2m²+

9

m2-3

＞0对任意的x∈R恒成立
所以△=4m²-4（2m²+

9

m2-3

）＜0
即-m²-

9

m2-3

＜0
∴

(m2- 3 2 )2+27

m2-3

＞0
由于分子恒大于0，只需m²-3＞0即可
所以m＜-

3

或m＞

3

∴M={m|m＜-

3

或m＞

3

}
（2）x²-2mx+2m²+

9

m2-3

=（x-m）²+m²+

9

m2-3

≥m²+

9

m2-3

当且仅当x=m时等号成立．
所以，题设对数函数的真数的最小值为m²+

9

m2-3

又因为以3为底的对数函数为增函数
∴f（x）≥log₃（m²+

9

m2-3

）
∴当且仅当x=m（m∈M）时，f（x）有最小值为log₃（m²+

9

m2-3

）
又当m∈M时，m²-3＞0
∴m²+

9

m2-3

=m²-3+

9

m2-3

+3≥2

(m2-3)• 9 m2-3

+3=9
当且仅当m²-3=

9

m2-3

，即m=±

6

时，
log₃（m²+

9

m2-3

）有最小值log₃（6+

9

6-3

）=log₃9=2
∴当x=m=±

6

时，其函数有最小值2．

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及基本不等式的应用，同时考查了转化的思想和计算的能力，属于中档题．