Question

根据下列条件，求抛物线的标准方程
（1）顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点P（-6，-3）．
（2）抛物线y²=2px（p＞0）上有一点M，其横坐标为8，它到焦点的距离为9．
（3）抛物线y²=2px（p＞0）上的点到定点（1，0）的最近距离为

p

2

．

Answer 1

分析：（1）依题意，设出该抛物线的方程为x²=-2py（p＞0），将P（-6，-3）代入求得p即可；
（2）利用抛物线的定义，将点M到焦点的距离为9，转化为它到准线的距离为9即可求得p；
（3）依题意，可求得p=2，从而可得答案．

解答：解：（1）依题意，设该抛物线的方程为x²=-2py（p＞0），
将P（-6，-3）代入x²=-2py（p＞0），得36=-2p×（-3），
解得p=6，
∴抛物线的标准方程为x²=-12y．
（2）依题意，作图如下：
设点M在抛物线y²=2px（p＞0）的准线x=-

p

2

上的射影为M′，
由抛物线的定义得，|MM′|=|MF|=9，又|MM′|=8-（-

p

2

），
∴8-（-

p

2

）=9，
解得p=2，
∴抛物线的标准方程为y²=4x．
（3）设抛物线y²=2px（p＞0）上的点M（x，y）到定点（1，0）的距离为d，
则d²=g（x）=（x-1）²+y²
=（x-1）²+2px
=x²+（2p-2）x+1
=[x+（p-1）]²+1-（p-1）²，
若p-1≥0，则当x=0时，d²取到最小值1，又抛物线y²=2px（p＞0）上的点到定点（1，0）的最近距离为

p

2

，
∴d²=

p2

4

=1，而p＞0，
∴p=2；
若p-1＜0，p＜1时，d²=g（x）=[x+（p-1）]²+1-（p-1）²在x=1-p（二次函数的对称轴）时取到最小值，
即d²=g（1-p）=1-（p-1）²=

p2

4

，
整理得：

5p2

4

-2p=0，解得p=

8

5

，与p＜1矛盾，故p=

8

5

不符合题意．
综上所述，p=2，
∴抛物线的标准方程为y²=4x．

点评：本题考查抛物线的标准方程，熟悉抛物线的四种形式的标准方程，掌握其性质是解决问题的关键，属于中档题．