Question

3．若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x＞0，y＞0满足f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y），若f（2）=-1，解不等式f（x+3）-f（$\frac{1}{x}$）＜2．

Answer 1

分析 根据条件求出f（4）=-2，将不等式进行转化进行求解即可．

解答 解：∵对一切x＞0，y＞0满足f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y），f（2）=-1
∴令x=4，y=2，
则f（$\frac{4}{2}$）=f（4）-f（2），即f（2）=f（4）-f（2），
∴f（4）=2f（2）=-2，
则不等式f（x+3）-f（$\frac{1}{x}$）＜2等价为不等式f（x+3）-f（$\frac{1}{x}$）＜-f（4），
即不等式f（x+3）＜f（$\frac{1}{x}$）-f（4）=f（$\frac{1}{4x}$）．
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴满足$\left\{\begin{array}{l}{x+3＞0}\\{\frac{1}{x}＞0}\\{x+3＜\frac{1}{4x}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞-3}\\{x＞0}\\{4{x}^{2}+12x-1＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{\frac{-3-\sqrt{10}}{2}＜x＜\frac{-3+\sqrt{10}}{2}}\end{array}\right.$，
即0＜x＜$\frac{\sqrt{10}-3}{2}$，
即不等式的解集为（0，$\frac{\sqrt{10}-3}{2}$）．

点评 本题主要考查不等式的求解，利用抽象函数的关系进行转化是解决本题的关键．