Question

9．已知：向量$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），向量$\overrightarrow{b}$与向量$\overrightarrow{a}$所成的角为$\frac{π}{3}$，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4．
（1）求向量$\overrightarrow{b}$；
（2）设$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{n}$=3k$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$（k为正实数），当$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$时，判断$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$与$\overrightarrow{a}$是否共线，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）可设$\overrightarrow{b}=（x，y）$，根据$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=4$及向量$\overrightarrow{a}$的坐标，向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角便可得到$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y=4}\\{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=4}\end{array}\right.$，这样便可解出x，y，经验证便可得到$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$，从而得出$\overrightarrow{b}=（4，0）$；
（2）可先求出向量$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$的坐标，根据$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$便可得到$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$，这样即可建立关于k的方程，解方程得出k的值，从而可以求出向量$\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}$的坐标，这样便可判断$\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}$与$\overrightarrow{a}$是否共线．

解答 解：（1）设$\overrightarrow{b}=（x，y）$，根据条件：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=x+\sqrt{3}y=4}\\{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos\frac{π}{3}=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=4}\end{array}\right.$；
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$（舍去）；
∴$\overrightarrow{b}=（4，0）$；
（2）$\overrightarrow{m}=（1+4k，\sqrt{3}），\overrightarrow{n}=（3k-8，3\sqrt{3}k）$；
∵$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$；
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=（1+4k）（3k-8）+9k=0$；
解得k=2，或k=$-\frac{1}{3}$（舍去）；
∴$\overrightarrow{m}=（9，\sqrt{3}），\overrightarrow{n}=（-2，6\sqrt{3}）$；
∴$\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}=（7，7\sqrt{3}）=7（1，\sqrt{3}）=7\overrightarrow{a}$；
∴$\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}$与$\overrightarrow{a}$共线．

点评 考查向量数量积的计算公式，及其数量积的坐标运算，消元法解二元二次方法，本题中求出x，y时，要验证是否满足条件，向量的加法、减法，及数乘的坐标运算，向量垂直的充要条件，以及共线向量基本定理．