Question

（A题）已知x，y，z∈R⁺，且x+y+z=1．
（1）求证：

1

x2

+

1

y2

+

1

z2

≥27；
（2）若λ（x²+y²+z²）≤x³+y³+z³恒成立，求实数λ的最大值．

Answer 1

分析：（1）依题意，利用基本不等式1=x+y+z≥3

3	xyz

＞0可求得0＜

3	xyz

≤

1

3

，同理即可证得

1

x2

+

1

y2

+

1

z2

≥27；
（2）利用x³+y³+z³=（x³+y³+z³）（x+y+z）≥（x²+y²+z²）²及（x²+y²+z²）（1²+1²+1²）≥（x+y+z）²=1，即可证得

x3+y3+z3

x2+y2+z2

≥

1

3

，而λ≤(

x3+y3+z3

x2+y2+z2

)min，从而可得答案．

解答：证明（1）∵x，y，z∈R⁺，且x+y+z=1，
∴1=x+y+z≥3

3	xyz

＞0，
∴0＜

3	xyz

≤

1

3

，
∴

1

x2

+

1

y2

+

1

z2

≥

3

3 x2y2z2

=

3

( 3 xyz )2

≥

3

( 1 3 )2

=27，
故

1

x2

+

1

y2

+

1

z2

≥27当且仅当x=y=z=

1

3

时等号成立…（6分）
（2）∵x，y，z∈R⁺，x+y+z=1且λ（x²+y²+z²）≤x³+y³+z³恒成立，
∴λ≤

x3+y3+z3

x2+y2+z2

恒成立，
∵x³+y³+z³=（x³+y³+z³）（x+y+z）≥（x²+y²+z²）²，
又∵（x²+y²+z²）（1²+1²+1²）≥（x+y+z）²=1，
∴x²+y²+z²≥

1

3

，
∴x³+y³+z³≥

1

3

（x²+y²+z²）⇒

x3+y3+z3

x2+y2+z2

≥

1

3

，当且仅当x=y=z=

1

3

时等号成立．
∴λ≤

1

3

，故实数λ的最大值为

1

3

…（14分）

点评：本题考查不等式的证明，考查等价转化思想与函数思想，考查逻运算与辑推理证明的能力，属于难题．