Question

如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差.

(1)设数列{a_n}是公方差为p的等方差数列，求a_n和a_n-1(n≥2,n∈N)的关系式；

(2)若数列{a_n}既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列；

(3)设数列{a_n}是首项为2，公方差为2的等方差数列，若将a₁,a₂,a₃,…,a₁₀这种顺序的排列作为某种密码，求这种密码的个数.

Answer 1

(1)解：由等方差数列的定义可知a_n²-a_n-1²=p(n≥2,n∈N).             

(2)证法一：∵{a_n}是等差数列，设公差为d，则a_n-a_n-1=a_n+1-a_n=d.

又{a_n}是等方差数列，∴a_n²-a_n-1²=a_n+1²-a_n².                                  

∴(a_n+a_n-1)(a_n-a_n-1)=(a_n+1+a_n)(a_n+1-a_n),即d(a_n+a_n-1-a_n+1-a_n)=-2d²=0.                

∴d=0，即{a_n}是常数列.                                                  

证法二：∵{a_n}是等差数列，设公差为d，则a_n-a_n-1=d.                       ①

又{a_n}是等方差数列，设公方差为p，则a_n²-a_n-1²=p,                         ②

将①代入②,得d²+2da_n-p=0.                                              ③

同理,有d²+2da_n-1-p=0.                                                   ④

两式相减得2d(a_n-a_n-1)=2d²=0.                                               

∴d=0，即{a_n}是常数列.                                                  

证法三：(接证法二①、②)

由①、②得出：若d=0，则{a_n}是常数列.                                     

若d≠0，则a_n=+是常数,矛盾.                                         

∴{a_n}是常数列.                                                           

(3)解:依题意，a_n²-a_n-1²=2(n≥2,n∈N)，

a₁²=4,a_n²=4+2(n-1)=2n+2，∴a_n=或a_n=-,                      

即该密码的第一个数确定的方法数是1，其余每个数都有“正”或“负”两种确定方法，当每个数确定下来时，密码就确定了，即确定密码的方法数是2⁹=512种.故这种密码共512种.