Question

17．已知平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠DAB=60°，点E，F分别在线段BC，DC上运动，设$\overrightarrow{BE}=λ\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{DF}=\frac{1}{9λ}\overrightarrow{DC}$，则$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$的最小值是$\frac{22}{9}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，把$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{AF}$都用含有$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$的式子表示，展开后化为关于λ的函数，再利用基本不等式求最值．

解答 解：如图，
$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AD}$，
$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{9λ}\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}+$$\frac{1}{9λ}\overrightarrow{AB}$．
∵AB=2，AD=1，∠DAB=60°，
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$=$（\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AD}）•（\overrightarrow{AD}+\frac{1}{9λ}\overrightarrow{AB}）$
=$\frac{10}{9}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+\frac{1}{9λ}$$|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+λ|\overrightarrow{AD}{|}^{2}$
=$\frac{4}{9λ}+λ+\frac{10}{9}×2×1×cos60°$
=$\frac{4}{9λ}+λ+\frac{10}{9}$$≥\frac{10}{9}+2\sqrt{\frac{4}{9λ}•λ}=\frac{22}{9}$．
当且仅当$\frac{4}{9λ}=λ$，即$λ=\frac{2}{3}$时，上式等号成立．
故答案为：$\frac{22}{9}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加法的三角形法则，体现了数学转化思想方法，是中档题．