Question

【题目】设函数f（x）= x3+x2﹣3x，若方程|f（x）|2+t|f（x）|+1=0有12个不同的根，则实数t的取值范围为（　　）
A.（﹣ ，﹣2）
B.（﹣∞，﹣2）
C.﹣ ＜t＜﹣2
D.（﹣1，2）

Answer 1

【答案】C
【解析】解： ，

得x=﹣3，x=1，

由f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣3，即函数在（﹣∞，﹣3），（1，+∞）单调递增，

由f′（x）＜0得﹣3＜x＜1，则函数在（﹣3，1）单调递减，

则函数的极大值为f（﹣3）=9，函数的极小值为 ，

根据函数的图象可知，

设|f（x）|=m，可知m2+tm+1=0，原方程有12个不同的根，

则m2+tm+1=0方程应在 内有两个不同的根，

设h（m）=m2+tm+1，

则 ，

所以取值的范围 ．

故答案为：C

对f（x）求导，判断出f（x）的单调区间，作出|f（x）|的大致图象，设|f（x）|=m，可知m2+tm+1=0，原方程有12个不同的根，则m2+tm+1=0方程应在 内有两个不同的根，根据一元次方程在给定区间有两个根得出不等式，求得t的取值范围.