Question

【题目】某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转而成，如图2.已知圆O的半径为，设，，圆锥的侧面积为（S圆锥的侧面积（R-底面圆半径，I-母线长））

（1）求S关于的函数关系式；

（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大.求S取得最大值时腰的长度

Answer 1

【答案】（1），（）；（2）

【解析】

（1）根据题意，设交于点，过作，垂足为，分析可得，，由圆锥的侧面积公式可得的表达式，即可得答案；

（2）由（1）可得的表达式可得，设，，求导求出其在区间上的最大值，求出的值，即可得当，即时，侧面积取得最大值，计算即可得答案．

解：（1）根据题意，设交于点D，过O作，垂足为E，

在中，，，

在中，，

所以，（）.

（2）由（1）得：，

设，（），

则，令，可得，

当时，，函数在区间上单调递增，

当时，，函数在区间上单调递减，

所以在时取得极大值，也是最大值；

所以当，即时，侧面积S取得最大值，

此时等腰三角形的腰长；

答：侧面积S取得最大值时，等腰三角形的腰的长度为.