Question

如图，M是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱DD₁的中点，给出下列命题
①过M点有且只有一条直线与直线AB、B₁C₁都相交；
②过M点有且只有一条直线与直线AB、B₁C₁都垂直；
③过M点有且只有一个平面与直线AB、B₁C₁都相交；
④过M点有且只有一个平面与直线AB、B₁C₁都平行．
其中真命题是（ ）

A．②③④
B．①③④
C．①②④
D．①②③

Answer 1

【答案】分析：点M不在这两异面直线中的任何一条上，所以，过M点有且只有一条直线与直线AB、B₁C₁都相交，①正确．
②过M点有且只有一条直线与直线AB、B₁C₁都垂直，正确．
过M点有无数个平面与直线AB、B₁C₁都相交，③不正确．
④过M点有且只有一个平面与直线AB、B₁C₁都平行，正确．
解答：解：直线AB与B₁C₁ 是两条互相垂直的异面直线，点M不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：
取C₁C的中点N，则MN∥AB，且 MN=AB，设BN 与B₁C₁交于H，则点 A、B、M、N、H 共面，
直线HM必与AB直线相交于某点O．

所以，过M点有且只有一条直线HO与直线AB、B₁C₁都相交；故①正确．
过M点有且只有一条直线与直线AB、B₁C₁都垂直，此垂线就是棱DD₁，故②正确．
过M点有无数个平面与直线AB、B₁C₁都相交，故 ③不正确．
过M点有且只有一个平面与直线AB、B₁C₁都平行，此平面就是过M点与正方体的上下底都平行的平面，故④正确．
综上，①②④正确，③不正确，
故选  C．
点评：本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想．