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【题目】已知点,点为平面上动点,过点作直线的垂线,垂足为,且.

(1)求动点的轨迹方程;

(2)过点的直线与轨迹交于两点,在处分别作轨迹的切线交于点,设直线的斜率分别为求证:为定值.

【答案】(1);(2)

【解析】试题分析:(1)设P(x,y),则H(﹣1,y),通过向量的数量积求出动点P的轨迹C的方程.

(2)证明:设点M(x0,y0)(x00)为轨迹C上一点,直线m:y=k0(x﹣x0)+y0为轨迹C的切线,联立在与椭圆方程,利用判别式求出其判别式,求出,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB:y=k(x﹣1),直线与抛物线方程,利用韦达定理求解斜率乘积即可.

试题解析:

(1)设,则,有,从而由题意,得动点P的轨迹C的方程y2=4x.
(2)证明:设点(x0≠0)为轨迹C上一点,直线m:y=k0(x-x0)+y0为轨迹C的切线,有,消去x得,k0y24y4k0x0+y0=0,其判别式△=16-4k0(-4k0x0+4y0)=0,解得,有m,设

根据

所以为定值.

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