Question

12．已知数列{a_n}满足${a_1}=\frac{1}{3}$，${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{2{a_n}+1}}，n∈{N^*}$
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）是否存在正整数p，q使得对任意的n∈N^*都有${a_n}=\frac{1}{pn+q}$，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}满足${a_1}=\frac{1}{3}$，${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{2{a_n}+1}}，n∈{N^*}$，可得a₂=$\frac{{a}_{1}}{2{a}_{1}+1}$=$\frac{1}{5}$．同理可得：a₃，a₄．
（2）假设存在正整数p，q使得对任意的n∈N^*都有${a_n}=\frac{1}{pn+q}$，则a₁=$\frac{1}{p+q}$=$\frac{1}{3}$，a₂=$\frac{1}{2p+q}$=$\frac{1}{5}$，解得p=2，q=1．利用数学归纳法证明：${a}_{n}=\frac{1}{2n+1}$即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足${a_1}=\frac{1}{3}$，${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{2{a_n}+1}}，n∈{N^*}$，
∴a₂=$\frac{{a}_{1}}{2{a}_{1}+1}$=$\frac{\frac{1}{3}}{2×\frac{1}{3}+1}$=$\frac{1}{5}$．
同理可得：a₃=$\frac{1}{7}$，a₄=$\frac{1}{9}$．
（2）假设存在正整数p，q使得对任意的n∈N^*都有${a_n}=\frac{1}{pn+q}$，
则a₁=$\frac{1}{p+q}$=$\frac{1}{3}$，a₂=$\frac{1}{2p+q}$=$\frac{1}{5}$，
解得p=2，q=1．
下面利用数学归纳法证明：${a}_{n}=\frac{1}{2n+1}$．
①当n=1时，a₁=$\frac{1}{2×1+1}$=$\frac{1}{3}$成立．
②假设n=k∈N^*时成立，a_k=$\frac{1}{2k+1}$．
则n=k+1时，a_k+1=$\frac{{a}_{k}}{2{a}_{k}+1}$=$\frac{\frac{1}{2k+1}}{2×\frac{1}{2k+1}+1}$=$\frac{1}{2（k+1）+1}$，因此n=k+1时成立．
综上可得：对于?n∈N^*时，${a}_{n}=\frac{1}{2n+1}$成立．

点评 本题考查了数列递推关系、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．