Question

【题目】设 ，g（x）=x3﹣x2﹣3．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）如果存在x1 ， x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（3）如果对任意的 ，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=2时， ， ，f（1）=2，f'（1）=﹣1，所以曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=﹣x+3
（2）解：存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立

等价于：[g（x1）﹣g（x2）]max≥M，

考察g（x）=x3﹣x2﹣3， ，

由上表可知： ，

，

所以满足条件的最大整数M=4

（3）解：当 时， 恒成立

等价于a≥x﹣x2lnx恒成立，

记h（x）=x﹣x2lnx，h'（x）=1﹣2xlnx﹣x，h'（1）=0．

记m（x）=1﹣2xlnx﹣x，m'（x）=﹣3﹣2lnx，

由于 ，m'（x）=﹣3﹣2lnx＜0，

所以m（x）=h'（x）=1﹣2xlnx﹣x在 上递减，

当 时，h'（x）＞0，x∈（1，2]时，h'（x）＜0，

即函数h（x）=x﹣x2lnx在区间 上递增，在区间（1，2]上递减，

所以h（x）max=h（1）=1，所以a≥1

【解析】（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，最后用直线的斜截式表示即可；（2）存在x1 ， x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立等价于：[g（x1）﹣g（x2）]max≥M，先求导数，研究函数的极值点，通过比较与端点的大小从而确定出最大值和最小值，从而求出[g（x1）﹣g（x2）]max ， 求出M的范围；（3）当 时， 恒成立等价于a≥x﹣x2lnx恒成立，令h（x）=x﹣x2lnx，利用导数研究h（x）的最大值即可求出参数a的范围．
【考点精析】掌握函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．