Question

9．已知a∈R，函数f（x）=x²-2ax+5．
（1）若a＞1，且函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
（2）若不等式x|f（x）-x²|≤1对x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）判断出f（x）的单调性，利用单调性列方程解出；（2）问题转化为a≥$\frac{5x-1}{{2x}^{2}}$且a≤$\frac{5x+1}{{2x}^{2}}$在x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）∵f（x）的图象开口向上，对称轴为x=a＞1，
∴f（x）在[1，a]上单调递减，
∴f（1）=a，即6-2a=a，解得a=2．
（2）不等式x|f（x）-x²|≤1对x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]恒成立，
即x|2ax-5|≤1对x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]恒成立，
故a≥$\frac{5x-1}{{2x}^{2}}$且a≤$\frac{5x+1}{{2x}^{2}}$在x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]恒成立，
令g（x）=$\frac{5x-1}{{2x}^{2}}$，x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]，则g′（x）=-$\frac{2x（5x-2）}{{4x}^{4}}$，
令g′（x）＞0，解得：$\frac{1}{3}$≤x＜$\frac{2}{5}$，令g′（x）＜0，解得：$\frac{2}{5}$＜x≤$\frac{1}{2}$，
故g（x）在[$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{5}$）递增，在（$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$]递减，
故g（x）_max=g（$\frac{2}{5}$）=$\frac{25}{8}$，
令h（x）=$\frac{5x+1}{{2x}^{2}}$，x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]，h′（x）=$\frac{-2x（5x+2）}{{4x}^{4}}$＜0，
故h（x）在x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]递减，
h（x）_min=h（$\frac{1}{2}$）=7，
综上：$\frac{25}{8}$≤a≤7．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查二次函数的性质以及函数恒成立问题，是一道中档题．