Question

4．已知动圆M过点P（0，2），且在x轴上截得的弦AB的长为4．
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）过点（-1，1）的直线l与轨迹C有且只有一个公共点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设圆心为M（x，y），线段AB的中点为D，依题意得|MP|²=|MA|²=|AD|²+|MD|²，由此能求出动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）由过点（-1，1）的直线l与轨迹C有且只有一个公共点，则直线l必与抛物线的对称轴平行，即l的斜率不存在，由此能够求得直线l的方程．

解答 解：（1）设圆心为M（x，y），线段AB的中点为D，则|AD|=$\frac{|AB|}{2}$，
依题意得|MP|²=|MA|²=|AD|²+|MD|²，
∴x²+（y-2）²=2²+y²，整理，得x²=4y，
∴动圆圆心的轨迹C的方程为x²=4y；
（2）∵点（-1，1）在抛物线x²=4y内部，
∴若过点（-1，1）的直线l与轨迹C有且只有一个公共点，则直线l必与抛物线的对称轴平行，即l的斜率不存在，
∴直线l的方程为x=-1．

点评 本题考查动圆圆心的轨迹方程的求法，考查直线与圆锥曲线的位置关系，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．