Question

设λ∈R，f（x）=cosx（λsinx-cosx）+cos²（

π

2

-x）满足f（-

π

3

）=f（0）．
（1）求函数f（x）的对称轴和单调递减区间；
（2）设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c且

cosA

cosB

=-

a

b+2c

，求f（x）在（0，A]上的值域．

Answer 1

分析：（1）依题意，f（-

π

3

）=f（0）⇒λ=2

3

，从而可求得f（x）=2sin（2x-

π

6

），利用正弦函数的对称轴方程可求得函数f（x）的对称轴，继而可得其单调递减区间；
（2）利用正弦定理，可将条件变形为sin（A+B）=-2cosAsinC，可求得A=

2π

3

，利用正弦函数的单调性可求得f（x）在（0，A]上的值域．

解答：解：（1）f（x）=λsinxcosx-cos²x+sin²x
=

1

2

λsin2x-cos2x，
∵f（-

π

3

）=f（0），
∴λ=2

3

…3分
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

），
对称轴为：x=

kπ

2

+

π

3

（x∈Z），…5分
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）的单调递减区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]（k∈Z）…7分
（2）∵

cosA

cosB

=-

a

b+2c

，由正弦定理，可变形为：sin（A+B）=-2cosAsinC，
∴cosA=-

1

2

，
∴A=

2π

3

------------（10分）
∴x∈（0，

2π

3

]，
∴f（x）∈[-1，2]---------------（14分）

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的对称轴方程、单调性及正弦定理，属于中档题．