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    【题目】已知.在单位圆上有两个定点、，，是上一动点，在直线上存在一点，满足（为边的中点）.试求的最大值.

    【答案】

    【解析】

    如图，在优弧上取点，使.取中点，联结并延长交于点.作交于另一点.由中位线定理知.

    下面对点分情况讨论.

    （1）当时，设与交于点（为中点）.

    由

    .

    因，所以，.

    因此，.

    （2）当时，同（1）知在上存在一点，满足

    .

    （3）当时，设交于点.

    由知.

    又，则点在的延长线上，且.

    从而满足的点在的外接圆上.但与该圆的两个交点为、，故在直线上没有点满足.

    （4）当时，同（3）知不存在满足条件的点.

    （5）当时，类似（1）知在上存在一点，满足 .

    综上，当时，存在满足条件的点.

    如图，作交于点，交于点.则.

    由上面的证明知，满足的点在以为直径的圆上.故

    .

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