Question

设函数（其中），且方程的两个根分别为、.
（1）当且曲线过原点时，求的解析式；
（2）若在无极值点，求的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）实数的取值范围是.

试题分析：（1）先将代入函数的解析式，利用“曲线过原点”先求出的值，然后求出二次函数的解析式，利用“、为二次方程的两个根”并结合韦达定理求出、的值，最终确定函数的解析式；（2）先利用“、为二次方程的两个根”并结合韦达定理确定、与的关系，然后求出，对与进行分类讨论，将在无极值点进行转化，对进行检验；当时，得到，从而求出实数的取值范围.
试题解析：（1）当时，，
由于曲线过原点，则有，，
，令，
由题意知，、是二次函数的两个零点，由韦达定理得，
，；
（2），
由于、是二次函数的两个零点，由韦达定理得，，
解得，，，
，
当时，，令，解得，当时，，当，，
此时为函数的极小值点，不合乎题意；
故，由于函数在无极值点，则，
即，化简得，解得，
故实数的取值范围是.