已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)。当x[0,1]时,f(x)=-x,若g(x)=f(x)-m(x+1)在区间(-1,2]有3个零点,则实数m的取值范围是
A.(-,) B.(-,] C. D.
B
【解析】
试题分析:根据题意,可求出f(x)区间(-1,2]上的分段函数的表达式,然后在同一坐标系内作出y=f(x)和y=m(x+1)的图象,观察直线y=m(x+1)的斜率m变化,可得直线y=m(x+1)位于图中AB、AC之间(包括AC)活动时,两个图象有三个公共点,由此求出直线AB、AC的斜率并与实数m加以比较,即可得到本题的答案.解:设得x+1∈[0,1],此时f(x+1)=-(x+1)=-x-,
∵函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)
∴当-1≤x≤0时,f(x)=x+.又∵f(x+2)=-f(x+1)═-[f(-x)]=f(x)∴f(x)是以2为周期的函数,可得当1≤x≤2时,f(x)=f(x-2)=x-综上所述,得f(x)区间(-1,2]上的表达式为f(x)=,
为了研究g(x)=f(x)-m(x+1)在区间(-1,2]上的零点,将其形为,f(x)=m(x+1),在同一坐标系内作出y=f(x)和y=m(x+1)的图象,如右图所示,y=f(x)图象是三条线段构成的折线,y=m(x+1)的图象是直线,因为直线y=m(x+1)经过定点A(-1,0),所以由图象可得当直线y=m(x+1),位于图中AB、AC之间(包括AC)活动时,两个图象有三个公共点,相应地,g(x)=f(x)-m(x+1)在区间(-1,2]也有3个零点,∵B(1,-0.5),C(2,0.5),,∴kAB= 而直线y=m(x+1)的斜率为m,它在AB、AC之间(包括AC)活动时,m(,].因此,使得g(x)=f(x)-m(x+1)在区间(-1,2]有3个零点的m取值范围为m(,],故选B
考点:分段函数图象
点评:本题给出分段函数图象与直线有三个公共点,求直线斜率m的取值范围,着重考查了基本初等函数的图象与性质、直线的斜率及其变化等知识,属于中档题
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