Question

20．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是两个单位向量，且|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$|（k＞0）．
（1）求$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角的范围；
（2）当$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为30°时，求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量模长关系，利用平方法结合向量数量积的公式进行求解即可．
（2）当$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为30°时，由（2）知k²-4kcos30°+1=0，解一元二次方程即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是两个单位向量，且|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$|（k＞0）．
∴平方得|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=3|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$|²．
即k²|$\overrightarrow{a}$|²+2k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{b}$|²=3（|$\overrightarrow{a}$|²-2k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+k²|$\overrightarrow{b}$|²．
即k²+2k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+1=3（1-2k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+k²），
即k²-4k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+1=0，
则k²-4kcos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞+1=0，
即cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{{k}^{2}+1}{4k}$=$\frac{1}{4}$（k+$\frac{1}{k}$）≥$\frac{1}{4}$×$2\sqrt{k•\frac{1}{k}}$=$\frac{1}{2}$，
则0≤＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞≤$\frac{π}{3}$
即$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角的范围是[0，$\frac{π}{3}$]．
（2）当$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为30°时，由（2）知k²-4kcos30°+1=0，
即k²-2$\sqrt{3}$k+1=0，
则k=$\frac{2\sqrt{3}±\sqrt{12-4}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}±2\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{3}$±$\sqrt{2}$

点评 本题主要考查向量数量积的应用，利用向量模长关系，利用平方法以及向量夹角公式进行求解是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．