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20.已知$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$是两个单位向量,且|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$|(k>0).
(1)求$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$的夹角的范围;
(2)当$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$的夹角为30°时,求实数k的值.

分析 (1)根据向量模长关系,利用平方法结合向量数量积的公式进行求解即可.
(2)当$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$的夹角为30°时,由(2)知k2-4kcos30°+1=0,解一元二次方程即可.

解答 解:(1)∵$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$是两个单位向量,且|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$|(k>0).
∴平方得|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|2=3|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$|2
即k2|$\overrightarrow{a}$|2+2k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{b}$|2=3(|$\overrightarrow{a}$|2-2k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+k2|$\overrightarrow{b}$|2
即k2+2k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+1=3(1-2k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+k2),
即k2-4k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+1=0,
则k2-4kcos<$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$>+1=0,
即cos<$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$>=$\frac{{k}^{2}+1}{4k}$=$\frac{1}{4}$(k+$\frac{1}{k}$)≥$\frac{1}{4}$×$2\sqrt{k•\frac{1}{k}}$=$\frac{1}{2}$,
则0≤<$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$>≤$\frac{π}{3}$
即$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$的夹角的范围是[0,$\frac{π}{3}$].
(2)当$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$的夹角为30°时,由(2)知k2-4kcos30°+1=0,
即k2-2$\sqrt{3}$k+1=0,
则k=$\frac{2\sqrt{3}±\sqrt{12-4}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}±2\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{3}$±$\sqrt{2}$

点评 本题主要考查向量数量积的应用,利用向量模长关系,利用平方法以及向量夹角公式进行求解是解决本题的关键.考查学生的运算和推理能力.

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