Question

19．已知圆C：（x-1）²+（y-4）²=r²（r＞0）
（Ⅰ）若直线x-y+5=0与圆C相交所得弦长为$2\sqrt{2}$，求半径r；
（Ⅱ）已知原点O，点A（2，0），若圆C上存在点P，使得$|PO|=\sqrt{2}|PA|$，求半径r的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出C到直线x-y+5=0的距离，根据直线x-y+5=0与圆C相交所得弦长为$2\sqrt{2}$，利用勾股定理，即可求半径r；
（Ⅱ）由$|PO|=\sqrt{2}|PA|$可得（x-4）²+y²=8，所以只需要圆C和圆（x-4）²+y²=8有公共点．

解答 解：（Ⅰ）C到直线x-y+5=0的距离为d=$\frac{|1-4+5|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，直线与圆相交所得弦长为$2\sqrt{2}$，所以$r=\sqrt{2+2}=2$．
（Ⅱ）设P（x，y），由$|PO|=\sqrt{2}|PA|$可得（x-4）²+y²=8，
所以只需要圆C和圆（x-4）²+y²=8有公共点，两圆圆心距离为5，
所以$5-2\sqrt{2}≤r≤5+2\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与圆、圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．